Gren telah dilahirkan pada 31 Oktober 1920. Bapanya ialah Johan Olsson manakala ibunya pula ialah Gerda Maria Olsson. Bapanya merupakan seorang tukang kayu. Gren telah dibesarkan di Majorna, Gothenburg.[2] Sejak usia kecil, Gren telah menunjukkan kemahirannya dalam bola sepak. Pada 7 Oktober 1934, Presiden Persatuan Bola Sepak Gothenburg iaitu Carl "Ceve" Linde telah mengadakan acara "juggling". Kemudian, Gren memenangi hadiah sukannya yang pertama. Göteborgs Sport Bladet menulis tentang seorang budak yang berusia 13 tahun menunjukkan kemahirannya dan bagaimana budak tersebut mengalahkan remaja-remaja lain dalam liga. Gren beraksi untuk Bollklubben Strix.[3] Pada usia remajanya, beliau bermain untuk kelab Lindholmens BK, GAIK dan Gårda BK.